Ezúttal azzal a valószínűségszámítási problémával foglalkozunk, melyet sokszor csak születésnap-paradoxonként emlegetnek. Jóllehet, a jelenség nem klasszikus értelemben vett paradoxon, hiszen nem tartalmaz logikai ellentmondást.
Történetünk egy irodában játszódik, ahol épp a közelmúltban nevezték ki az új főnököt. A frissen megbízott vezető már az első munkanapján értekezletet hív össze, hogy bemutatkozzon, illetve, hogy megismerje az irodában dolgozó 22 beosztottat. Az ismerkedés során a főnök mindenkit megkér, hogy mondja el, melyik napon született, mivel azt szeretné, hogy a jövőben együtt köszönthessék fel a születésnapozókat.
A bemutatkozáson kiderül, hogy az irodában van egy alkalmazott, akinek születésnapja épp a főnökével esik egybe. Az ügyvezető ezen nagyon meglepődik, és hangosan elgondolkodik:
Vajon mekkora a valószínűsége annak, hogy egy ekkora irodában legyen két ember, akinek ugyanakkor van a születésnapja? Szerintem szinte semmi esély sincs erre, ez kész csoda.
Vajon igaza van főnöknek? Számoljuk ki!
A matematikai kérdés tehát a következő:
Mivel elméletileg számított eséllyel dolgozunk, először is vegyünk figyelembe néhány kikötést. Induljunk ki abból, hogy az irodában dolgozók azonos eséllyel születhetnek az év bármely hónapjának bármely napján; emellett ne számoljunk február 29-el, az egyszerűség kedvéért.
Mivel így is igen bonyolult lenne az összes lehetőséget összeszámolni, a kérdés pontos megválaszolásához egyszerűbb a komplementer eseményt vizsgálni – azaz azokat a lehetőségeket, amikor nem teljesül az eredeti követelmény. Jelen esetben ez azt jelenti, hogy azt kell kiszámolnunk, mekkora a valószínűsége annak, hogy a főnök és az alkalmazottak mind más-más napon születtek. Vizsgáljuk meg az esélyeket!
Annak a valószínűsége, hogy két ember különböző napon született:
(Mert ha sorrendbe állítjuk az irodában dolgozókat, az első az év bármely napján születhetett, a másodiknak viszont már nem lehet ugyanazon a napon a születésnapja.) Erre tehát közel 100 százalék az esély.
Most nézzük meg három emberre:
Mint látjuk, a valószínűség még itt is igen magas. Az esély azonban valamivel csökkent.
Hasonló módon kiszámolhatjuk 4, 5, 6, vagy akár 23 ember esetében is ezt a valószínűséget. Ha eljutottunk az iroda utolsó tagjához is, a következőt kapjuk:
Tehát annak az elméleti valószínűsége, hogy az irodában mindenki más napon született, 49,27 százalék. Ne felejtsük azonban el, hogy komplementer esemény számoltunk, tehát az eredeti kérdésre még nem kaptuk meg a választ.
Ehhez ugyanis még ki kell vonnunk a 49,27 százalékot a 100 százalékból, hiszen ezzel kizárjuk az összes olyan lehetőséget, amikor mindenki más-más napon született.
A keresett valószínűség tehát 50,73 százalék. A születésnapok egybeesése tehát messze nem olyan különleges, mint ahogy azt a főnök gondolja.
