Ez alkalommal egy olyan halmazelméleti problémát mutatunk be, amely nyelvi eszközökkel próbál becsapni minket.
A halmazelmélet a matematika egyik legalapvetőbb ága, és – ahogy a nevéből is kiolvasható – halmazokkal foglalkozik. Történetünkhöz először érdemes feleleveníteni néhány fogalmat a középiskolai tudásból. Először is azt, hogy a halmazok – ha éppenséggel nem üresek – úgynevezett elemeket tartalmaznak. Sőt, egyes esetekben egy-egy halmazban olyan részhalmazok is vannak, melyeknek elemei az eredeti halmazban is megtalálhatóak. Harmadik kifejezésként emlékezzünk vissza a metszetre, amely bizonyos halmazok közös elemeit jelöli.
És akkor következzen a probléma.
A történet szerint hősünk autója egész egyszerűen nem akar elindulni egyik hétfő reggel. Mivel emberünk egyáltalán nem ért a járművekhez, felhívja egy ismerősét, aki rövid időn belül meg is érkezik. Az ismerős felnyitja a motorháztetőt, ellenőrzi az alkatrészeket, majd meg is találja a probléma okát.
Alig telik el negyed óra, a kedves ismerős már helyre is hozza az autót. Emberünk rendkívül hálás, végre el tud indulni a munkába, és ha szerencséje van, még csak el sem fog késni.
A történet első ránézésre legalább olyan egyszerű, mint az hozzá kapcsolódó matematikai kérdés:
A: egy paleontológus,
vagy
B: egy paleontológus, aki egyben autószerelő is?
Gondolkozzunk halmazokban!
Mielőtt elhamarkodott döntést hoznánk, fontos megemlíteni, hogy a válasz nem az, amit a legtöbb ember ösztöne elsőre súg. A leírás miatt sokan hajlamosak arra, hogy egyből ugorjanak az “autószerelő” kifejezésre, meg sem fontolva az első lehetőséget. Ne dőljünk be, a megoldás nem a B válasz. Hogy miért? Hívjuk segítségül a halmazelméletet!
Először is: képzeljük el, hogy létezik két halmaz, az A, amelybe a paleontológusok; illetve a C, amelybe az autószerelők tartoznak. A feladatnak megfelelően létezzen egy metszet is, melyben olyan embereket találunk, akik egyszerre paleontológusok és autószerelők is. Legyen ez a bizonyos metszet a B halmaz.
Magától értetődő, hogy a B az A egyik részhalmaza – és eközben természetesen a C-é is. Ebből kifolyólag az A jóval több elemet fog tartalmazni, mint a B.
Ha visszatérünk a matematika nyelvéről a vizsgált szituációra, azt mondhatjuk, hogy létezhetnek olyan emberek, akik egyszerre paleontológusok és autószerelők is. Őket ugyanakkor mind besorolhatjuk a paleontológusok közé, akiknek a tábora jóval népesebb, és mint mondtuk, eleve tartalmazza azokat, akik a fosszíliák vizsgálata mellett autószereléssel is foglalkoznak.
Képzeljük el, hogy létezik olyan ember, aki paleontológusként dolgozik, és emellett, bár nincs róla papírja, mégis kitűnően ért a járművekhez – mondjuk apja valóban szerelő volt, ő viszont csak hobbiként vette át a bütykölést. Ez a személy, mivel nem profi, nem sorolható be az autószerelők közé. Ugyanakkor mégis meg van a képessége, hogy rendbe hozza hősünk vacakoló járművét.
Éppen ezért az A halmazban sokkal nagyobb valószínűséggel fogjuk megtalálni a keresett ismerősünket, mint annak részhalmazában, azaz a paleontológusok és egyben autószerelők közt.
A megoldás tehát – bár némiképp ellentmond az első megérzésnek – az A válasz lesz. Fontos azonban kiemelni, hogy ez nem jelenti azt, hogy az ismerős mindenképp paleontológus. Csupán arról van szó, hogy a két lehetséges megoldás közül ennek jóval nagyobb a valószínűsége.
