Csákányi László a ma Ausztriához tartozó Németújváron született 1921. január 13-án, de pénzügyőr édesapja nem kívánt az osztrákoknál maradni és családjával Kőszegre költözött. Ekkor változott a horvát eredetű Zsigovits családnév Csákányira. Az édesapa László fiát egy papi internátusba íratta Kőszegen, afféle misszionáriusképzőbe – írja a Múlt-kor.hu. Hogy miért, arról Csákányi egy 1988-as interjúban azt mondta, hogy mint minden szerényebb sorban élő ember, az ő szülei is azt szerették volna, ha gyermekük karriert csinál, ennek pedig akkoriban az volt a módja, ha pap, jegyző, rendőrtiszt vagy gyógyszerész lett belőle.
A kis Lászlót azonban a futball érdekelte, ám ez az ábránd szépen lassan elúszott, ám egy kötelező kőszegi színházlátogatás alkalmával az internátus növendékei Huszka Jenő operettjét, a Gül Babát tekintették meg. A darab olyan nagy hatást gyakorolt a tinédzser Csákányira, hogy az a papi hivatás helyett a színészi pályát választotta. Édesapja, aki nem örült az ifjú lelkében izzó művészi elhivatottságnak, az érettségihez kötötte az általa egzisztenciális öngyilkosságnak vélt csepűrágó hivatást.
Csákányi László 1942-ben diplomázott, majd a Nemzeti Színháznál kezdte a pályáját, majd behívták katonának. Ausztriában esett orosz fogságba, ahonnan csak 1948-ban térhetett haza, és mivel „fasisztának” bélyegezték, nem kapott állást a Nemzetiben. Az édesapja nadrágját hordó, egyik napról a másikra tengődő művész vidéki kultúrházakban haknizott a túlélésért. 1949-ben aztán rámosolygott a szerencse, felvették az Ifjúsági Színház tagjai közé, így végre búcsút inthetett a nomád életnek.
1953-tól a Fővárosi Operettszínházhoz szerződött, és bár a hosszú évtizedek alatt rengeteg népszerű nótát énekelt, saját bevallása szerint nem értett a zenéhez. Az összhangzattan és a kottaolvasás nem az ő világa volt, de kitűnő hallásával és remek orgánumával, mély, recsegős hangjával elbűvölte a közönséget.
Remek szinkronszínész is volt, az ő hangján szólalt meg Foxi Maxi, a Frédi és Béni sorozat Frédije, illetve a Vukban Karak, a róka. A szinkronizálás Csákányi visszaemlékezései szerint egy idő után kezdett terhessé válni. 1956-tól a Petőfi Színház, 1963-tól a Vígszínház, 1971-től a József Attila Színház, majd 1974-től a Vidám Színpad színészeként szórakoztatta a nagyérdeműt. Munkájáért 1959-ben Jászai Mari-díjat kapott, 1979-ben érdemes művész, 1984-ben kiváló művész lett. Csákányi László a Vidám Színpad színészeként 1992. november 3-án hunyt el Budapesten.
