A statisztika szerepe
Ahhoz, hogy megértsük a fizika berobbanását a pénzügyekbe, kitérőt kell tenni a viktoriánus tudományos laboratóriumok és előadótermek világába, ahol a tudósok először használták a statisztikát. A természettudósok abban az időben fordultak az adatok felé. Például ha kutyákat figyeltek meg, listákat vezettek súlyukról, magasságukról. Ezek után olyan grafikont rajzoltak, ahol mondjuk a magasságot ábrázolták a vízszintes tengelyen, és a függőlegesen annak számát, hogy az adott magasság hányszor fordult elő.
Úgy találták, hogy ezek a megoszlási grafikonok (hisztogramok) hajlamosak arra, hogy középen vegyék fel a maximumukat: az eloszlás képe púpos alakot vett fel. Az alakja után elnevezett haranggörbe (Gauss-görbe) jelenítette meg grafikailag a normális eloszlást. Ez az eloszlás szimmetrikus az átlagra, a szórás pedig a púp szélességét méri. A púpon túl a görbe mindkét irányba ellaposodik és hamar elég közel kerül a nulla értékhez.
A normális eloszlás legmegdöbbentőbb tulajdonsága maga a jelentése: azt jelzi, hogy a természetben valami teljesen véletlenszerűen zajlik. A normális eloszlásnak azonban van egy másik közkedvelt tulajdonsága is. Ha ugyanis kezdetben még torzítottan jelentkezik a Gauss-görbe, a megfigyelt alanyok számának növelésével az adatok mégis a normális eloszlást fogják követni. Ez lett a centrális határeloszlás tétele, ami azt állítja, hogy a puszta véletlenség a végén mindig győz.
A fizika fejlődése
A véletlenszerűség lett a XIX. századi fizika központi vezérlő ereje is. Az a gondolat, hogy az anyag atomokból és molekulákból épül fel, már ismert volt a görögök idejében is. A XIX. században jött el viszont annak az ideje, hogy az ötletet teszteljék is. A cél az volt, hogy az anyagok makroszkópikus tulajdonságait, mint például a hő áramlását vagy a gáz nyomását, az atomi viselkedés segítségével írják le.
A XVIII. században Daniel Bernoulli már felvetette, hogy egy gázt tartalmazó tartályban megszámlálhatatlan apró molekula van, amelyek folyamatosan a tartály falának és egymásnak ütköznek. James Clerk Maxwell az 1860-as években jött rá arra, hogy ennek a mozgásnak véletlenszerűnek kell lennie. Maxwell abból indult ki, hogy a gáz egyensúlyban van, ami azt jelenti, hogy átlagosan nem veszít és nem is nyer energiát a környezetétől. Ebben az esetben viszont az adott irányba mozgó molekulák sebessége normális eloszlást kell, hogy kövessen, hiszen a mozgás teljesen véletlenszerű. Világos, hogy az átlagnak nullának kell lennie, mivel a molekulák átlagosan nem mozoghatnak akármerre egy zárt tartályban.
Az elképzelés bizonyítása részben egy botanikus, Robert Brown nevéhez fűződik. Brown egyik dolgozatában arról számolt be, hogy amikor mikroszkópjával a vízcseppben úszó pollent figyelte, a virágszemek szűnni nem akaró, véletlen mozgását látta. Az atomisták az 1860-as években jutottak el odáig, hogy a Brown-mozgás – ahogy a jelenséget ekkor már nevezték – oka nem más, mint hogy a vízmolekulák véletlenszerűen lökdösik a pollenszemeket.
Az elméletre azonban mégis kételkedő megjegyzéseket zúdítottak, helyesen mutatva rá, hogy az egyes molekulák, ha léteznek, túl kicsik ahhoz, hogy megmozdítsanak egy virágporszemet. A jelenségnek statisztikai természete kellett, hogy legyen. De milyen? Az atomistákat álláspontjuk megvédésében matematikai módszereik fejletlensége vetette vissza.
Össze kellett tehát kapcsolni a véletlenszerűség két szintjét. Az első szint a pollenszemcse mozgásának véletlenszerűsége (ez megfigyelhető), a másik pedig a molekulák billióinak mozgási valószínűsége (ez nem megfigyelhető). Világos, hogy a mértékek skálája nagyon eltérő; ezért nagyon sok molekulának kell összefognia ahhoz, hogy egy pollenszemcse megmozduljon.
Louis Bachelier jutott el a döntő lépésig. Rájött, hogy a virágporszemcsének az az elmozdulása, amit Brown észrevett mikorszkópjában, milliónyi apró, molekuláktól eredő lökés összege kell, hogy legyen. Ezek a kis lökések azonban önmagukban is egy eloszlást alkotnak; amikor ezeket az eloszlásokat összegezzük, a centrális határeloszlás tétele szerint a pollenszemcsék elmozdulásának normális eloszlást kell követnie.
A célpont: a tőzsde
Egy olyan szemcse esetén, amely állandó sebességgel mozog, a molekulák nélkül megtett út arányos az eltelt idővel. Amikor viszont a molekulák arra kényszerítik a porszemcsét, hogy véletlenszerűen bolyongjon, a szemcse által megtett távolság az eltelt idő négyzetgyökével arányos. Ha mindkét mennyiséget mérni tudjuk, megfigyelhetjük a molekulák szórásában megjelenő tulajdonságait.
Az a tanulmány, amely először mutatta meg, hogy hogyan lehet ezt megvalósítani, híressé tette íróját, és az atomisták győzelmét hozta. Olyannyira népszerű lett, hogy 1912 óta még mindig a tíz leggyakrabban idézett fizikai publikáció között szerepel. A szerző, Albert Einstein 1905-ben vetette papírra mindezt.
Bachelier már 1900-ban elkészült disszertációjában (A spekuláció elmélete) felfedezte a Brown-mozgás matematikáját, a pollenszemcsék mozgásáról azonban nem ejtett egy szót sem. Írásának témája a párizsi tőzsde volt. De mit is tett Bachelier?
Százhúsz évvel Adam Smith és 180 évvel Isaac Newton után feladta, hogy megpróbálja megérteni “az emberek őrültségét”, és kilépett az ismeretlenbe. Úgy tekintett a részvényárfolyamra, mint amit fel-le taszigálnak, de nem a molekulák, hanem a befektetők és a brókerek ezreinek láthatatlan hangulata. A nagy forgalmú piacokon, ahol egy vállalatnak több milliónyi részvénye van forgalomban, a spekulánsok ezrei adják vagy veszik naponta a papírt. Minden ügylet egy kis lökést ad a részvényárfolyamnak; amikor ezek hatását összeadjuk, a centrális határeloszlás tételét alkalmazva az árváltozásokat normális eloszlással írhatjuk le. A világszemlélet elméleti hátterét 1965-ben adta meg Eugene Fama, amikor az információ tökéletes áramlásával magyrázta az árfolyamok véletlen bolyongását. Ez volt a hatékony tőkepiacok hipotézise.
Mivel foglalkozik az econophysics?
Például a vállatok méreteloszlásának kérdéseivel is, de a legsikeresebb területe a (tőzsdei) idősorok elemzése. Ezen belül a leglényegesebb vizsgált szempontok: az árfolyammozgások eloszlása, az árfolyamok autokorrelációja, az egyes részvények keresztkorrelációja, a fluktuációk alapján történő előrejelzés.
Módszerek
Elsősorban az idősorelemzés különféle szofisztikált eljárásai, de például voltak olyan elemzések is, amelyek a folyadékok turbulenciáját hasonlították az árfolyammozgásokhoz. A statsztikus fizika, elsősorban annak az úgynevezett fázisátalakulásokkal és kritikus jelenségekkel foglakozó ága nagyon felfutott a 70-es évektől kezdődően. Ennek során olyan módszereket fejlesztettek ki, amelyekkel a korábbiaknál jobban le lehet írni az egyes jelenségekben megfigyelhető ingadozásokat, fluktuációkat.
Eredmények
Kimutatták, hogy az árfolyammozgások eloszlása közel szimmetrikus, leginkább egy ún. hatványfüggvény csonkolású Lévy-eloszlással írható le. Ez gyakorlatban azt jelenti, hogy a “hagyományos” Gauss-(normális)-eloszláshoz képest a viszonylag nagy eltérések valószínűsége nagyobb, az igazán nagy kitérésekre viszont valamilyen levágást kell alkalmazni (az még vitatott, hogy exponenciális vagy hatványfüggvény). Csak összehasonlításként: a Gauss eloszlással számolva az 1987 októberi krach valószínűsége 10^(-35), azaz elenyészően kicsi. Szintén igaz az, hogy az árfolyammozgások időben korrelálatlanok, viszont ez már nem igaz a változások abszolút értékére, vagyis a volatilitásra. Kimutatható, hogy a magas voilatilitású periódusok nem függetlenül jelennek meg, hanem csoportosan (clustered), ami például a krachok előjele is lehet. A volatilitás eloszlására lognormális eloszlást kaphatunk.
Egy adott portfólió kockázatának kiszámításához szükséges ismerni az egyes összetevők kölcsönös korrelációit, azaz azt, hogy egy adott részvény árfolyamváltozásával mennyire jár együtt a többi valamilyen irányú változása. Ezt a kvantummechanikában használatos úgynevezett véletlen mátrix elmélet segítségével lehet vizsgálni, és különféle összefüggéseket lehet feltárni.
