Tudomány

Matek 5-ös: A főnök azt hitte, különleges a születésnapja

Lugosi Péter
Lugosi Péter

2016. 11. 02. 17:26

Sorozatunkban olyan híres és meglepő matematikai problémákkal, fejtörőkkel, tényekkel és paradoxonokkal foglalkozunk, melyek valószínűleg nem kerültek elő a tanórákon, megismerésükkel mégis sokkal szerethetőbbé és izgalmasabbá válik a sokak által gyűlölt tárgy.
Korábban a témában:

Ezúttal azzal a valószínűségszámítási problémával foglalkozunk, melyet sokszor csak születésnap-paradoxonként emlegetnek. Jóllehet, a jelenség nem klasszikus értelemben vett paradoxon, hiszen nem tartalmaz logikai ellentmondást.

Történetünk egy irodában játszódik, ahol épp a közelmúltban nevezték ki az új főnököt. A frissen megbízott vezető már az első munkanapján értekezletet hív össze, hogy bemutatkozzon, illetve, hogy megismerje az irodában dolgozó 22 beosztottat. Az ismerkedés során a főnök mindenkit megkér, hogy mondja el, melyik napon született, mivel azt szeretné, hogy a jövőben együtt köszönthessék fel a születésnapozókat.

A bemutatkozáson kiderül, hogy az irodában van egy alkalmazott, akinek születésnapja épp a főnökével esik egybe. Az ügyvezető ezen nagyon meglepődik, és hangosan elgondolkodik:

Vajon mekkora a valószínűsége annak, hogy egy ekkora irodában legyen két ember, akinek ugyanakkor van a születésnapja? Szerintem szinte semmi esély sincs erre, ez kész csoda.

Vajon igaza van főnöknek? Számoljuk ki!

A matematikai kérdés tehát a következő:

Mekkora az elméletileg számított esélye annak, hogy egy 23 fős irodában van legalább két alkalmazott, akiknek a születésnapja ugyanarra a napra esik?

Mivel elméletileg számított eséllyel dolgozunk, először is vegyünk figyelembe néhány kikötést. Induljunk ki abból, hogy az irodában dolgozók azonos eséllyel születhetnek az év bármely hónapjának bármely napján; emellett ne számoljunk február 29-el, az egyszerűség kedvéért.

Mivel így is igen bonyolult lenne az összes lehetőséget összeszámolni, a kérdés pontos megválaszolásához egyszerűbb a komplementer eseményt vizsgálni – azaz azokat a lehetőségeket, amikor nem teljesül az eredeti követelmény. Jelen esetben ez azt jelenti, hogy azt kell kiszámolnunk, mekkora a valószínűsége annak, hogy a főnök és az alkalmazottak mind más-más napon születtek. Vizsgáljuk meg az esélyeket!

Annak a valószínűsége, hogy két ember különböző napon született:

365/365 × 364/365 = 0,9972

(Mert ha sorrendbe állítjuk az irodában dolgozókat, az első az év bármely napján születhetett, a másodiknak viszont már nem lehet ugyanazon a napon a születésnapja.) Erre tehát közel 100 százalék az esély.

Most nézzük meg három emberre:

365/365 × 364/365 × 363/365 = 0,9917

Mint látjuk, a valószínűség még itt is igen magas. Az esély azonban valamivel csökkent.

Hasonló módon kiszámolhatjuk 4, 5, 6, vagy akár 23 ember esetében is ezt a valószínűséget. Ha eljutottunk az iroda utolsó tagjához is, a következőt kapjuk:

365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 = 0,4927

Tehát annak az elméleti valószínűsége, hogy az irodában mindenki más napon született, 49,27 százalék. Ne felejtsük azonban el, hogy komplementer esemény számoltunk, tehát az eredeti kérdésre még nem kaptuk meg a választ.

Ehhez ugyanis még ki kell vonnunk a 49,27 százalékot a 100 százalékból, hiszen ezzel kizárjuk az összes olyan lehetőséget, amikor mindenki más-más napon született.

A keresett valószínűség tehát 50,73 százalék. A születésnapok egybeesése tehát messze nem olyan különleges, mint ahogy azt a főnök gondolja.

Kommentek

Legfrissebb videó mutasd mind

24-logo

Engedélyezi, hogy a 24.hu értesítéseket
küldjön Önnek a kiemelt hírekről?
Az értesítések bármikor kikapcsolhatók
a böngésző beállításaiban.