A labdarúgó – testvérével együtt – Cegléden kezdte karrierjét, majd 1961-ben a Fradiba igazolt: július 30-án, egy 1-1-re végződőt FTC-Csepel mérkőzésen mutatkozott be a fővárosiaknál.
Kökény József 1964-ig 79 találkozón húzta magára a Fradi szerelését, és tagja volt az 1962-63-as, valamint az 1964-es bajnokcsapatnak.
Legnagyobb sikerét 1965-ben érte el, hiszen akkor az FTC-vel megnyerte a Vásárvárosok Kupáját: a döntőben 1-0-ra verték a Juventust, míg 1962-ben a VVK 2. fordulójában két gólt is lőtt a Sampdoriának.
Lánya, Kökény Beatrix a ferencvárosi kézilabdázás egyik ikonja, a szakosztály jelenlegi vezetője.
