Belföld

Megoldottak egy százéves matematikai sejtést

admin

2003. 04. 15. 15:10

Egy orosz tudós bebizonyította a matematika hét legnehezebb, megoldatlan problémája között számon tartott Poincaré-sejtést. Ha elmélete igaznak bizonyul, egymillió dollár üti a markát.

Egy orosz matematikus bebizonyította a Poincaré-sejtést, az egyik leghíresebb megoldatlan matematikai problémát – adta hírül a The New York Times. A matematikus, Dr. Grigorij Perelman, aki az Orosz Tudományos Akadéma szentpétervári Steklov Matematikai Intézetének munkatársa, felfedezését egy tanulmánysorozatban készül nyilvánosságra hozni. Ha a bizonyítást egy tekintélyes szaklap elfogadja és leközli, illetve a rákövetkező két év során a matematikus társadalomnak nem sikerül megcáfolnia, akkor Perelman érdemeit 1 millió dollárral jutalmazza a Clay Matematikai Intézet.

A matematika szépségét népszerűsítő intézet még 2000-ben egy párizsi konferencián kihirdetett hét, „millenniumi”-nak nevezett megoldatlan matematikai rejtélyt, amelyek bebizonyításáért egyenként egymillió dollárt ajánlott fel. A hét „milleniumi” rejtély >>

A tudós társadalomban már hónapokkal ezelőtt híre ment, hogy Perelman elképzelhető, hogy megfejtette a Poincaré-sejtést, de hivatalosan az első bizonyításokat a bostoni Massachusetts Institute of Technology-n (MIT) tartott múlt heti előadásában tárta a közvélemény elé. A New Yorki Egyetemen hétfőtől előadássorozatot is tart a témában, ám az interjúktól egyelőre óvakodik, mondván korán van még ehhez.


Henri Poincaré (1854-1912)

Poincaré sejtése

A sejtés a topológia témaköréhez kapcsolódik. Kiindulópont: a d-dimenziós topologikus sokaságon olyan összefüggő topologikus teret értünk, amelyben minden pontnak van olyan nyílt környezete, amelyből létezik homeomorfizmus (mindkét irányban folytonos bijekció) a d-dimenziós euklideszi tér egy nyílt részhalmazára. A topológia egyik központi problémája a sokaságok osztályozása. Az osztályozás történhet homeomorfizmus erejéig, de legalább olyan fontos a homotópiatípus szerinti osztályozás.

 Egy kis adalék…

Közérthetőbben a sokaságról : valami d-dimenziós sokaság, ha lokálisan d-dimenziós térnek néz ki, azaz egy pontban ülve és körülnézve úgy érezzük d-dimenziós térben vagyunk. Pontosan azért hihették sokáig, hogy lapos a Föld, mert a gömbfelszín 2-sokaság, azaz egy gömbön állva, ha nem látunk elég messzire, nem tudjuk megkülönböztetni a síktól. Homeomorfia: ez az a reláció, ami ha létezik két tér közt, akkor topológiai szempontból azonosnak a terek azonosnak tekintendők. Azaz a topológia nem tekint különbözőnek tereket, ha azok egymásba deformálhatók szakítás, vágás ragasztás nélkül.
Homeomorf terek homotopikusan is megegyeznek – más szóval a homotópia egy topológiai invariáns. A fordított állítás azonban, azaz, hogy azonos homotópiájú terek homeomorfak lennének, nem igaz. (Ha igaz lenne, akkor a Poincaré sejtés/tétel következményként adódna.) Szemléletesen két sokaság homotópiatípusa akkor egyezik meg, ha egymásba folytonosan átdeformálhatók.

Szemléletesen két sokaság homotópiatípusa akkor egyezik meg, ha egymásba folytonosan átdeformálhatók. Például a körlap, sőt akármilyen konvex síkidom homotópiatípusa azonos a pontéval (mert ,,összehúzhatók”). Az általánosított Poincaré-sejtés szerint minden olyan kompakt sokaság, amelynek a homotópiatípusa azonos a d-dimenziós gömbfelületével, valójában homeomorf is vele.

Kettő, négy, öt és annál több dimenzióra már igazolták

A sejtés kétdimenziós esetét nem nehéz igazolni, viszont a d=3 eset (Poincaré eredeti sejtése) eddig nyitott volt. Meglepőnek tűnhet, hogy 1982-ben Michael Freedmannek sikerült bizonyítania a d=4 esetet; mitöbb, ő valamennyi ún. egyszeresen összefüggő kompakt 4-dimenziós sokaságot osztályozni tudta.

A sejtést négynél több, tetszőleges számú dimenzióra már 1966-ban Stephen Smale igazolta, aki felfedezéséért Fields-díjat is kapott. A háromdimenziós eset azonban továbbra is ellenállt, így ha Perelman teóriája igaznak bizonyul, az utolsó mozaik rákerül a képre. (A matematikusok leghíresebb elismeréséről, a Fields-díjról a következő magyar nyelvű link alatt bővebb információk is elérhető >>)

Nyolc évig magányosan egy padlásszobában

A sejtésre eddig már jónéhány megoldás született, ám ezek notórikusan hamisnak bizonyultak. Egyébként maga Poincaré is kénytelen volt sejtésének egy korábbi változatát felülvizsgálni. Bár jónéhány matematikust lázba hozott a hír, óvatosságra intenek, hisz egyelőre nem a teljes elméletet ismerik, és a leggondosabb bizonyításokba is csúszhat hiba.

Ez történt 1993-ban Dr. Andrew J. Wiles princetoni professzorral is, aki diákjaival igazolta Fermat utolsó tételét, és a nyilvánosságra hozatala után kiderült, hogy a bizonyításnak súlyos hiányosságai vannak, amit csak jónéhány hónapos munkával sikerült az „alkotóknak” kijavítani.

Dr. Perelman élettörténete egyébként hasonlít Wiles-éhoz abból a szempontból, hogy ő is dolgozott a Fermat-tétellel, ám amerikai kollégájával ellentétben nem diákjaival, hanem félrevonulva padlásszobájában. Bár Perelman korai publikációi alapján nyilvánvaló volt, hogy briliáns matematikus, a tudós az elmúlt nyolc évet Oroszországban teljes félrevonultságban töltötte, semmit sem publikálva. A tavaly novemberben a tudóstársak egy része számára elérhetővé tett írásában számos amerikai egyetemnek mond például köszönetet, hogy vendégprofesszori állásokkal lehetővé tették, hogy nyugodtan dolgozzon.

vissza a címlapra

Ajánlott videó mutasd mind

Kijini Primary School students learn to float, swim and perform rescues on Tuesday, October 25, 2016 in the Indian Ocean off of Mnyuni, Zanzibar.
—
Daily life in the Zanzibar Archipelago centers around the sea, yet the majority of girls who inhabit the islands never acquire even the most fundamental swimming skills. Conservative Islamic culture and the absence of modest swimwear have compelled community leaders to discourage girls from swimming. Until now.

For the past few years, the Panje Project has made it possible for local women and girls to get into the water, not only teaching them swimming skills but aquatic safety and drowning prevention techniques. The group has empowered its students to teach others, creating a sustainable cycle. Students are also provided full-length swimsuits, so that they can enter the water without compromising their cultural and religious beliefs.

While the wearing of full-length swimsuits may be seen as subjugation, donning one in order to learn a vital life skill, which has long been and would otherwise be forbidden, is an important first step toward emancipation. Education — whether it be in or out of the water — serves as a springboard providing women and girls the empowerment and tools with which to claim their rights and challenge existing barriers.

The rate of drowning on the African continent is the highest in the world. Still, many community leaders have yet to warm up to the idea of women and girls learning to swim. The swimming lessons challenge a patriarchal system that discourages women from pursuing things other than domestic tasks. It is this tension of the freedom one feels in and under water juxtaposed with the limitations imposed upon Zanzibari women that is at the heart of this series.
Nézd meg a legfrissebb cikkeinket a címlapon!
24-logo

Engedélyezi, hogy a 24.hu értesítéseket
küldjön Önnek a kiemelt hírekről?
Az értesítések bármikor kikapcsolhatók
a böngésző beállításaiban.