Egy orosz matematikus bebizonyította a Poincaré-sejtést, az egyik leghíresebb megoldatlan matematikai problémát – adta hírül a The New York Times. A matematikus, Dr. Grigorij Perelman, aki az Orosz Tudományos Akadéma szentpétervári Steklov Matematikai Intézetének munkatársa, felfedezését egy tanulmánysorozatban készül nyilvánosságra hozni. Ha a bizonyítást egy tekintélyes szaklap elfogadja és leközli, illetve a rákövetkező két év során a matematikus társadalomnak nem sikerül megcáfolnia, akkor Perelman érdemeit 1 millió dollárral jutalmazza a Clay Matematikai Intézet.
A matematika szépségét népszerűsítő intézet még 2000-ben egy párizsi konferencián kihirdetett hét, „millenniumi”-nak nevezett megoldatlan matematikai rejtélyt, amelyek bebizonyításáért egyenként egymillió dollárt ajánlott fel. A hét „milleniumi” rejtély >>
A tudós társadalomban már hónapokkal ezelőtt híre ment, hogy Perelman elképzelhető, hogy megfejtette a Poincaré-sejtést, de hivatalosan az első bizonyításokat a bostoni Massachusetts Institute of Technology-n (MIT) tartott múlt heti előadásában tárta a közvélemény elé. A New Yorki Egyetemen hétfőtől előadássorozatot is tart a témában, ám az interjúktól egyelőre óvakodik, mondván korán van még ehhez.
Henri Poincaré (1854-1912)
Poincaré sejtése
A sejtés a topológia témaköréhez kapcsolódik. Kiindulópont: a d-dimenziós topologikus sokaságon olyan összefüggő topologikus teret értünk, amelyben minden pontnak van olyan nyílt környezete, amelyből létezik homeomorfizmus (mindkét irányban folytonos bijekció) a d-dimenziós euklideszi tér egy nyílt részhalmazára. A topológia egyik központi problémája a sokaságok osztályozása. Az osztályozás történhet homeomorfizmus erejéig, de legalább olyan fontos a homotópiatípus szerinti osztályozás.
Egy kis adalék…
Közérthetőbben a sokaságról : valami d-dimenziós sokaság, ha lokálisan d-dimenziós térnek néz ki, azaz egy pontban ülve és körülnézve úgy érezzük d-dimenziós térben vagyunk. Pontosan azért hihették sokáig, hogy lapos a Föld, mert a gömbfelszín 2-sokaság, azaz egy gömbön állva, ha nem látunk elég messzire, nem tudjuk megkülönböztetni a síktól. Homeomorfia: ez az a reláció, ami ha létezik két tér közt, akkor topológiai szempontból azonosnak a terek azonosnak tekintendők. Azaz a topológia nem tekint különbözőnek tereket, ha azok egymásba deformálhatók szakítás, vágás ragasztás nélkül.
Homeomorf terek homotopikusan is megegyeznek – más szóval a homotópia egy topológiai invariáns. A fordított állítás azonban, azaz, hogy azonos homotópiájú terek homeomorfak lennének, nem igaz. (Ha igaz lenne, akkor a Poincaré sejtés/tétel következményként adódna.) Szemléletesen két sokaság homotópiatípusa akkor egyezik meg, ha egymásba folytonosan átdeformálhatók.
Kettő, négy, öt és annál több dimenzióra már igazolták
A sejtés kétdimenziós esetét nem nehéz igazolni, viszont a d=3 eset (Poincaré eredeti sejtése) eddig nyitott volt. Meglepőnek tűnhet, hogy 1982-ben Michael Freedmannek sikerült bizonyítania a d=4 esetet; mitöbb, ő valamennyi ún. egyszeresen összefüggő kompakt 4-dimenziós sokaságot osztályozni tudta.
A sejtést négynél több, tetszőleges számú dimenzióra már 1966-ban Stephen Smale igazolta, aki felfedezéséért Fields-díjat is kapott. A háromdimenziós eset azonban továbbra is ellenállt, így ha Perelman teóriája igaznak bizonyul, az utolsó mozaik rákerül a képre. (A matematikusok leghíresebb elismeréséről, a Fields-díjról a következő magyar nyelvű link alatt bővebb információk is elérhető >>)
Nyolc évig magányosan egy padlásszobában
A sejtésre eddig már jónéhány megoldás született, ám ezek notórikusan hamisnak bizonyultak. Egyébként maga Poincaré is kénytelen volt sejtésének egy korábbi változatát felülvizsgálni. Bár jónéhány matematikust lázba hozott a hír, óvatosságra intenek, hisz egyelőre nem a teljes elméletet ismerik, és a leggondosabb bizonyításokba is csúszhat hiba.
Ez történt 1993-ban Dr. Andrew J. Wiles princetoni professzorral is, aki diákjaival igazolta Fermat utolsó tételét, és a nyilvánosságra hozatala után kiderült, hogy a bizonyításnak súlyos hiányosságai vannak, amit csak jónéhány hónapos munkával sikerült az „alkotóknak” kijavítani.
Dr. Perelman élettörténete egyébként hasonlít Wiles-éhoz abból a szempontból, hogy ő is dolgozott a Fermat-tétellel, ám amerikai kollégájával ellentétben nem diákjaival, hanem félrevonulva padlásszobájában. Bár Perelman korai publikációi alapján nyilvánvaló volt, hogy briliáns matematikus, a tudós az elmúlt nyolc évet Oroszországban teljes félrevonultságban töltötte, semmit sem publikálva. A tavaly novemberben a tudóstársak egy része számára elérhetővé tett írásában számos amerikai egyetemnek mond például köszönetet, hogy vendégprofesszori állásokkal lehetővé tették, hogy nyugodtan dolgozzon.
