Belföld

Megoldottak egy százéves matematikai sejtést

Egy orosz tudós bebizonyította a matematika hét legnehezebb, megoldatlan problémája között számon tartott Poincaré-sejtést. Ha elmélete igaznak bizonyul, egymillió dollár üti a markát.

Egy orosz matematikus bebizonyította a Poincaré-sejtést, az egyik leghíresebb megoldatlan matematikai problémát – adta hírül a The New York Times. A matematikus, Dr. Grigorij Perelman, aki az Orosz Tudományos Akadéma szentpétervári Steklov Matematikai Intézetének munkatársa, felfedezését egy tanulmánysorozatban készül nyilvánosságra hozni. Ha a bizonyítást egy tekintélyes szaklap elfogadja és leközli, illetve a rákövetkező két év során a matematikus társadalomnak nem sikerül megcáfolnia, akkor Perelman érdemeit 1 millió dollárral jutalmazza a Clay Matematikai Intézet.

A matematika szépségét népszerűsítő intézet még 2000-ben egy párizsi konferencián kihirdetett hét, „millenniumi”-nak nevezett megoldatlan matematikai rejtélyt, amelyek bebizonyításáért egyenként egymillió dollárt ajánlott fel. A hét „milleniumi” rejtély >>

A tudós társadalomban már hónapokkal ezelőtt híre ment, hogy Perelman elképzelhető, hogy megfejtette a Poincaré-sejtést, de hivatalosan az első bizonyításokat a bostoni Massachusetts Institute of Technology-n (MIT) tartott múlt heti előadásában tárta a közvélemény elé. A New Yorki Egyetemen hétfőtől előadássorozatot is tart a témában, ám az interjúktól egyelőre óvakodik, mondván korán van még ehhez.


Megoldottak egy százéves matematikai sejtést 1

Henri Poincaré (1854-1912)

Poincaré sejtése

A sejtés a topológia témaköréhez kapcsolódik. Kiindulópont: a d-dimenziós topologikus sokaságon olyan összefüggő topologikus teret értünk, amelyben minden pontnak van olyan nyílt környezete, amelyből létezik homeomorfizmus (mindkét irányban folytonos bijekció) a d-dimenziós euklideszi tér egy nyílt részhalmazára. A topológia egyik központi problémája a sokaságok osztályozása. Az osztályozás történhet homeomorfizmus erejéig, de legalább olyan fontos a homotópiatípus szerinti osztályozás.

 Egy kis adalék…

Közérthetőbben a sokaságról : valami d-dimenziós sokaság, ha lokálisan d-dimenziós térnek néz ki, azaz egy pontban ülve és körülnézve úgy érezzük d-dimenziós térben vagyunk. Pontosan azért hihették sokáig, hogy lapos a Föld, mert a gömbfelszín 2-sokaság, azaz egy gömbön állva, ha nem látunk elég messzire, nem tudjuk megkülönböztetni a síktól. Homeomorfia: ez az a reláció, ami ha létezik két tér közt, akkor topológiai szempontból azonosnak a terek azonosnak tekintendők. Azaz a topológia nem tekint különbözőnek tereket, ha azok egymásba deformálhatók szakítás, vágás ragasztás nélkül.
Homeomorf terek homotopikusan is megegyeznek – más szóval a homotópia egy topológiai invariáns. A fordított állítás azonban, azaz, hogy azonos homotópiájú terek homeomorfak lennének, nem igaz. (Ha igaz lenne, akkor a Poincaré sejtés/tétel következményként adódna.) Szemléletesen két sokaság homotópiatípusa akkor egyezik meg, ha egymásba folytonosan átdeformálhatók.

Szemléletesen két sokaság homotópiatípusa akkor egyezik meg, ha egymásba folytonosan átdeformálhatók. Például a körlap, sőt akármilyen konvex síkidom homotópiatípusa azonos a pontéval (mert ,,összehúzhatók”). Az általánosított Poincaré-sejtés szerint minden olyan kompakt sokaság, amelynek a homotópiatípusa azonos a d-dimenziós gömbfelületével, valójában homeomorf is vele.

Kettő, négy, öt és annál több dimenzióra már igazolták

A sejtés kétdimenziós esetét nem nehéz igazolni, viszont a d=3 eset (Poincaré eredeti sejtése) eddig nyitott volt. Meglepőnek tűnhet, hogy 1982-ben Michael Freedmannek sikerült bizonyítania a d=4 esetet; mitöbb, ő valamennyi ún. egyszeresen összefüggő kompakt 4-dimenziós sokaságot osztályozni tudta.

A sejtést négynél több, tetszőleges számú dimenzióra már 1966-ban Stephen Smale igazolta, aki felfedezéséért Fields-díjat is kapott. A háromdimenziós eset azonban továbbra is ellenállt, így ha Perelman teóriája igaznak bizonyul, az utolsó mozaik rákerül a képre. (A matematikusok leghíresebb elismeréséről, a Fields-díjról a következő magyar nyelvű link alatt bővebb információk is elérhető >>)

Nyolc évig magányosan egy padlásszobában

A sejtésre eddig már jónéhány megoldás született, ám ezek notórikusan hamisnak bizonyultak. Egyébként maga Poincaré is kénytelen volt sejtésének egy korábbi változatát felülvizsgálni. Bár jónéhány matematikust lázba hozott a hír, óvatosságra intenek, hisz egyelőre nem a teljes elméletet ismerik, és a leggondosabb bizonyításokba is csúszhat hiba.

Ez történt 1993-ban Dr. Andrew J. Wiles princetoni professzorral is, aki diákjaival igazolta Fermat utolsó tételét, és a nyilvánosságra hozatala után kiderült, hogy a bizonyításnak súlyos hiányosságai vannak, amit csak jónéhány hónapos munkával sikerült az „alkotóknak” kijavítani.

Dr. Perelman élettörténete egyébként hasonlít Wiles-éhoz abból a szempontból, hogy ő is dolgozott a Fermat-tétellel, ám amerikai kollégájával ellentétben nem diákjaival, hanem félrevonulva padlásszobájában. Bár Perelman korai publikációi alapján nyilvánvaló volt, hogy briliáns matematikus, a tudós az elmúlt nyolc évet Oroszországban teljes félrevonultságban töltötte, semmit sem publikálva. A tavaly novemberben a tudóstársak egy része számára elérhetővé tett írásában számos amerikai egyetemnek mond például köszönetet, hogy vendégprofesszori állásokkal lehetővé tették, hogy nyugodtan dolgozzon.

Ajánlott videó

Ha kommentelni, beszélgetni, vitatkozni szeretnél, vagy csak megosztanád a véleményedet másokkal, a 24.hu Facebook-oldalán teheted meg. Ha bővebben olvasnál az okokról, itt találsz válaszokat.

24-logo

Engedélyezi, hogy a 24.hu értesítéseket
küldjön Önnek a kiemelt hírekről?
Az értesítések bármikor kikapcsolhatók
a böngésző beállításaiban.