Molnár László 1957. augusztus 22-én született Békéscsabán, ahol általános és középiskolai tanulmányait is végezte. Eredetileg autókarosszéria-lakatos végzettséget szerzett, de mellette 1967–1981 között az Előre Spartacus SC labdarúgója is volt.
Politikai karrierjét 1978-ban kezdte, 1989-ben a Magyar Szocialista Párt alapítói között volt. 1991-ben a Testnevelési Egyetemen kapott sportvezetői oklevelet. 1993-ban végzett a Közgazdaságtudományi Egyetem vállalkozó-menedzseri szakán, 2001-ben a Janus Pannonius Tudományegyetemen jogi szakokleveles vállalkozói menedzseri képesítést szerzett.
1998 és 2002 között a Békés Megyei Önkormányzat tagja volt. Molnár Lászlót 2002-ben választották meg először országgyűlési képviselőnek. 2004-től 2006-ig az MSZP frakcióvezető-helyetteseként dolgozott. 2006 és 2010 között újra a Békéscsaba központú választókerület képviselője volt az Országgyűlésben, ahol több bizottság munkájában is részt vett.
