Tudomány

Matek 5-ös: A paleontológus autószerelő esete

Lugosi Péter
Lugosi Péter

2016. 10. 26. 15:12

Sorozatunkban olyan híres és meglepő matematikai problémákkal, fejtörőkkel, tényekkel és paradoxonokkal foglalkozunk, melyek valószínűleg nem kerültek elő a tanórákon, megismerésükkel mégis sokkal szerethetőbbé és izgalmasabbá válik a sokak által gyűlölt tárgy.
Korábban a témában:

Ez alkalommal egy olyan halmazelméleti problémát mutatunk be, amely nyelvi eszközökkel próbál becsapni minket.

A halmazelmélet a matematika egyik legalapvetőbb ága, és – ahogy a nevéből is kiolvasható – halmazokkal foglalkozik. Történetünkhöz először érdemes feleleveníteni néhány fogalmat a középiskolai tudásból. Először is azt, hogy a halmazok – ha éppenséggel nem üresek – úgynevezett elemeket tartalmaznak. Sőt, egyes esetekben egy-egy halmazban olyan részhalmazok is vannak, melyeknek elemei az eredeti halmazban is megtalálhatóak. Harmadik kifejezésként emlékezzünk vissza a metszetre, amely bizonyos halmazok közös elemeit jelöli.

És akkor következzen a probléma.

A történet szerint hősünk autója egész egyszerűen nem akar elindulni egyik hétfő reggel. Mivel emberünk egyáltalán nem ért a járművekhez, felhívja egy ismerősét, aki rövid időn belül meg is érkezik. Az ismerős felnyitja a motorháztetőt, ellenőrzi az alkatrészeket, majd meg is találja a probléma okát.

Alig telik el negyed óra, a kedves ismerős már helyre is hozza az autót. Emberünk rendkívül hálás, végre el tud indulni a munkába, és ha szerencséje van, még csak el sem fog késni.

A történet első ránézésre legalább olyan egyszerű, mint az hozzá kapcsolódó matematikai kérdés:

Melyiknek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy az a bizonyos ismerős

A: egy paleontológus,

vagy

B: egy paleontológus, aki egyben autószerelő is?

Gondolkozzunk halmazokban!

Mielőtt elhamarkodott döntést hoznánk, fontos megemlíteni, hogy a válasz nem az, amit a legtöbb ember ösztöne elsőre súg. A leírás miatt sokan hajlamosak arra, hogy egyből ugorjanak az “autószerelő” kifejezésre, meg sem fontolva az első lehetőséget. Ne dőljünk be, a megoldás nem a B válasz. Hogy miért? Hívjuk segítségül a halmazelméletet!

Először is: képzeljük el, hogy létezik két halmaz, az A, amelybe a paleontológusok; illetve a C, amelybe az autószerelők tartoznak. A feladatnak megfelelően létezzen egy metszet is, melyben olyan embereket találunk, akik egyszerre paleontológusok és autószerelők is. Legyen ez a bizonyos metszet a B halmaz.

Az “A” halmaz a paleontológusokat, a “C” halmaz az autószerelőket, míg a “B” a paleontológusokat és egyben autószerelőket is jelenti.

Magától értetődő, hogy a B az A egyik részhalmaza – és eközben természetesen a C-é is. Ebből kifolyólag az A jóval több elemet fog tartalmazni, mint a B.

Ha visszatérünk a matematika nyelvéről a vizsgált szituációra, azt mondhatjuk, hogy létezhetnek olyan emberek, akik egyszerre paleontológusok és autószerelők is. Őket ugyanakkor mind besorolhatjuk a paleontológusok közé, akiknek a tábora jóval népesebb, és mint mondtuk, eleve tartalmazza azokat, akik a fosszíliák vizsgálata mellett autószereléssel is foglalkoznak.

Képzeljük el, hogy létezik olyan ember, aki paleontológusként dolgozik, és emellett, bár nincs róla papírja, mégis kitűnően ért a járművekhez – mondjuk apja valóban szerelő volt, ő viszont csak hobbiként vette át a bütykölést. Ez a személy, mivel nem profi, nem sorolható be az autószerelők közé. Ugyanakkor mégis meg van a képessége, hogy rendbe hozza hősünk vacakoló járművét.

Éppen ezért az A halmazban sokkal nagyobb valószínűséggel fogjuk megtalálni a keresett ismerősünket, mint annak részhalmazában, azaz a paleontológusok és egyben autószerelők közt.

A megoldás tehát – bár némiképp ellentmond az első megérzésnek – az A válasz lesz. Fontos azonban kiemelni, hogy ez nem jelenti azt, hogy az ismerős mindenképp paleontológus. Csupán arról van szó, hogy a két lehetséges megoldás közül ennek jóval nagyobb a valószínűsége.

vissza a címlapra

Kommentek

Legfrissebb videó mutasd mind

Picture taken on June 25, 2013 in Aachen, western Germany, shows British actor and UNICEF Goodwill Ambassador Roger Moore and his Danish wife Kristina Tholstrup waving from a carriage as they visit the CHIO World Equestrian Festival.
Moore, who will forever be remembered for playing the womanising superspy James Bond, died May 23, 2017, aged 89, his family announced in a statement. / AFP PHOTO / dpa / Henning Kaiser / Germany OUT
Nézd meg a legfrissebb cikkeinket a címlapon!
24-logo

Engedélyezi, hogy a 24.hu értesítéseket
küldjön Önnek a kiemelt hírekről?
Az értesítések bármikor kikapcsolhatók
a böngésző beállításaiban.