Tudomány

Matek 5-ös: A paleontológus autószerelő esete

Lugosi Péter
Lugosi Péter

2016. 10. 26. 15:12

Sorozatunkban olyan híres és meglepő matematikai problémákkal, fejtörőkkel, tényekkel és paradoxonokkal foglalkozunk, melyek valószínűleg nem kerültek elő a tanórákon, megismerésükkel mégis sokkal szerethetőbbé és izgalmasabbá válik a sokak által gyűlölt tárgy.
Korábban a témában:

Ez alkalommal egy olyan halmazelméleti problémát mutatunk be, amely nyelvi eszközökkel próbál becsapni minket.

A halmazelmélet a matematika egyik legalapvetőbb ága, és – ahogy a nevéből is kiolvasható – halmazokkal foglalkozik. Történetünkhöz először érdemes feleleveníteni néhány fogalmat a középiskolai tudásból. Először is azt, hogy a halmazok – ha éppenséggel nem üresek – úgynevezett elemeket tartalmaznak. Sőt, egyes esetekben egy-egy halmazban olyan részhalmazok is vannak, melyeknek elemei az eredeti halmazban is megtalálhatóak. Harmadik kifejezésként emlékezzünk vissza a metszetre, amely bizonyos halmazok közös elemeit jelöli.

És akkor következzen a probléma.

A történet szerint hősünk autója egész egyszerűen nem akar elindulni egyik hétfő reggel. Mivel emberünk egyáltalán nem ért a járművekhez, felhívja egy ismerősét, aki rövid időn belül meg is érkezik. Az ismerős felnyitja a motorháztetőt, ellenőrzi az alkatrészeket, majd meg is találja a probléma okát.

Alig telik el negyed óra, a kedves ismerős már helyre is hozza az autót. Emberünk rendkívül hálás, végre el tud indulni a munkába, és ha szerencséje van, még csak el sem fog késni.

A történet első ránézésre legalább olyan egyszerű, mint az hozzá kapcsolódó matematikai kérdés:

Melyiknek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy az a bizonyos ismerős

A: egy paleontológus,

vagy

B: egy paleontológus, aki egyben autószerelő is?

Gondolkozzunk halmazokban!

Mielőtt elhamarkodott döntést hoznánk, fontos megemlíteni, hogy a válasz nem az, amit a legtöbb ember ösztöne elsőre súg. A leírás miatt sokan hajlamosak arra, hogy egyből ugorjanak az “autószerelő” kifejezésre, meg sem fontolva az első lehetőséget. Ne dőljünk be, a megoldás nem a B válasz. Hogy miért? Hívjuk segítségül a halmazelméletet!

Először is: képzeljük el, hogy létezik két halmaz, az A, amelybe a paleontológusok; illetve a C, amelybe az autószerelők tartoznak. A feladatnak megfelelően létezzen egy metszet is, melyben olyan embereket találunk, akik egyszerre paleontológusok és autószerelők is. Legyen ez a bizonyos metszet a B halmaz.

Az “A” halmaz a paleontológusokat, a “C” halmaz az autószerelőket, míg a “B” a paleontológusokat és egyben autószerelőket is jelenti.

Magától értetődő, hogy a B az A egyik részhalmaza – és eközben természetesen a C-é is. Ebből kifolyólag az A jóval több elemet fog tartalmazni, mint a B.

Ha visszatérünk a matematika nyelvéről a vizsgált szituációra, azt mondhatjuk, hogy létezhetnek olyan emberek, akik egyszerre paleontológusok és autószerelők is. Őket ugyanakkor mind besorolhatjuk a paleontológusok közé, akiknek a tábora jóval népesebb, és mint mondtuk, eleve tartalmazza azokat, akik a fosszíliák vizsgálata mellett autószereléssel is foglalkoznak.

Képzeljük el, hogy létezik olyan ember, aki paleontológusként dolgozik, és emellett, bár nincs róla papírja, mégis kitűnően ért a járművekhez – mondjuk apja valóban szerelő volt, ő viszont csak hobbiként vette át a bütykölést. Ez a személy, mivel nem profi, nem sorolható be az autószerelők közé. Ugyanakkor mégis meg van a képessége, hogy rendbe hozza hősünk vacakoló járművét.

Éppen ezért az A halmazban sokkal nagyobb valószínűséggel fogjuk megtalálni a keresett ismerősünket, mint annak részhalmazában, azaz a paleontológusok és egyben autószerelők közt.

A megoldás tehát – bár némiképp ellentmond az első megérzésnek – az A válasz lesz. Fontos azonban kiemelni, hogy ez nem jelenti azt, hogy az ismerős mindenképp paleontológus. Csupán arról van szó, hogy a két lehetséges megoldás közül ennek jóval nagyobb a valószínűsége.

Kommentek

Legfrissebb videó mutasd mind

24-logo

Engedélyezi, hogy a 24.hu értesítéseket
küldjön Önnek a kiemelt hírekről?
Az értesítések bármikor kikapcsolhatók
a böngésző beállításaiban.